NĚKOLIK POZNÁMEK K CHAOSU A JEHO UŽITÍ

24.09.1999 | Odborné konference

Some remarks about chaos and using of this

Dagmar Brechlerová

Adresa autorky:

RNDr. Dagmar Brechlerová, Česká zemědělská univerzita, PEF- KIT, Praha 6 -Suchdol, 165 21, tel.: 02 2438 2356, e-mail: brechlerova@pef.czu.cz

Anotace:

Teorie chaosu je poměrně nový a populární obor a proto se stává, že bývá nevhodně užita. Příspěvek se proto zabývá některými základními pojmy z teorie chaosu jako je fázový prostor a jeho rekonstrukce, atraktor a analýza časových řad a poukazuje na některá nevhodná užití chaosu. Cílem příspěvku je zejména varovat před nevhodnou aplikací teorie chaosu; k tomu může dojít bez dostatečných znalostí základních partií fyziky a matematiky, z kterých je teorie chaosu odvozena.

Summary:

Chaos theory is a relatively new and popular discipline and therefore it can be improper applied. This contribution deals with some basic terms of chaos: phase space, reconstruction of phase space, attractor and analysis of time rows and points to some wrong applications of chaos. The goal of this contribution is mainly to warn not to use chaos improperly. It can happen without good knowledge of basic parts of physics and mathematics from those chaos is derived.

Klíčová slova:

chaos, fázový prostor, rekonstrukce fázového prostoru, atraktor, analýza časových řad

Key words:

chaos, phase space, reconstruction of phase space, attractor , analysis of time rows

Teorie deterministického chaosu je poměrně novou záležitostí ( rozvoj zhruba od sedmdesátých let ), ale její používání nebo alespoň zmínka o chaosu patří ( bohužel ) k módním trendům např. při zpracování dat. To často vede k absolutně nevhodnému užití či úvahám o tom, jak se něco chová chaoticky, ačkoliv ve skutečnosti o žádný chaos nejde, a autor tvrzení není schopen chaos nijak prokázat. Následující příspěvek se snaží proto objasnit některé základní pojmy z teorie chaosu a upozornit na některá nevhodná užití a na náročnost této problematiky. Přestože teorie chaosu vyžaduje značné znalosti z určitých partií matematiky, nezvládnutí kterých často právě vede k nevhodnému užití, zde se pokusíme pouze o “nematematický” popis.

Při chaotické interpretaci určitého děje předpokládáme, že je jeho průběh plně popsán deterministickým mechanismem, tj. že daný systém můžeme popsat buď soustavou obyčejných diferenciálních rovnic (v případě spojitého dynamického systému) nebo soustavou diferenčních rovnic (v případě diskrétního systému). Pro řešení soustavy rovnic je nutno vždy zadat počáteční podmínky a pro dané počáteční podmínky je potom řešení soustavy rovnic vždy stejné.

Existují ale takové systémy, že chování, ke kterému se systém blíží po dlouhé době, je stále velmi citlivé na počáteční podmínky. Tato citlivost může způsobovat to, že i při drobné změně počátečních podmínek, např. nepřesném měření, se chování systému diametrálně liší. Takové děje nazýváme citlivé na počáteční podmínky; někdy se tomuto efektu říká “efekt motýlího křídla”. U dějů citlivých na počáteční podmínky není možno předpovídat chování systému na dlouhou dobu. Před vytvořením teorie chaosu byly tyto děje zahrnovány mezi děje náhodné a studovány pomocí pravděpodobnostních metod. Nutno ovšem podotknout, že k vysvětlení pouze této citlivosti (efektu motýlího křídla) není teorie chaosu potřebná a že teorie chaosu zahrnuje složitější komplex chování systému.

Již dříve bylo matematiky odvozeno, že systém, který se bude chovat zmíněným “neočekávaným” způsobem, musí být popsán nelineárními rovnicemi a ve fázovém prostoru (viz dále) musí být řešení sice globálně omezeno, ale lokálně musí počáteční chyba měření narůstat [1]; nikdo si ale takové chování nedovedl představit.

Proto je za zlomové datum v teoriii chaosu považován 7. leden 1963 [4], kdy Edward Lorenz zveřejnil článek Deterministic Nonperiodic Flow. E. Lorenz při modelování proudění (model byl prostorově dvourozměrný) došel řadou velmi zajímavých matematických úprav k soustavě tří rovnic (tzv. Lorenzovy rovnice). Jedná se o tři obyčejné diferenciální rovnice, řešením kterých můžeme najít časový průběh tří nezávislých koeficientů (nazvěme je X, Y, Z). Systém není řešitelný analyticky a numerickým řešením rovnic s časovým krokem t = 0.01 (kde t byl normalizovaný čas) pro několik tisíc prvních iterací , což bylo v té době jistě velmi náročné, získal E. Lorenz řadu trojic X, Y, Z. Řešení bylo postupně vynášeno do fázového prostoru. Fázový prostor je obvykle n rozměrný Euklidovský prostor, kde n odpovídá počtu proměnných, tedy v případě Lorenzových rovnic trojrozměrný fázový prostor. Zde se vynáší řešení v závislosti na čase, v případě spojitého systému jde o křivku (trajektorii) ve fázovém prostoru, v případě diskrétního sytému o jednotlivé body. Dá se odvodit, že v případě spojitého sytému musí být tento systém popsán nejméně třemi proměnnými, (tj. fázový prostor musí být nejméně trojrozměrný), aby systém mohl vykazovat chaos. U diskrétního systému stačí jedna rovnice o jedné proměnné.

Lorenzovy rovnice obsahují několik parametrů a pro některé hodnoty těchto parametrů vykazoval systém chování, které bylo o mnoho let později právě nazváno chaotické.

Pro pochopení toho, o jak zvláštní chování jde, je nutno si představit, jak se systém chová v jiných situacích, tj. jak jeho chování můžeme popsat ve fázovém prostoru. Pokud jde o systém s periodickým chováním, je trajektorie (dráha) ve fázovém prostoru uzavřená křivka, po které se pohyb opakuje. Pokud jde o chování náhodné, je výskyt trajektorie v celém fázovém prostoru stejně pravděpodobný.

U chaotických sytémů je však chování znázorněné ve fázovém prostoru velmi zvláštní: po nějaké době dojde k tomu, že trajektorie ve fázovém prostoru se soustředí pouze do určité části fázového prostoru, tzv. atraktoru, který jakoby pohyb po fázovém prostoru přitahoval. To je pro chaotické systémy charakteristické a veškeré metody pro rozeznání chaotického děje se soustřeďují právě na studium trajektorie ve fázovém prostoru. V případě řešení Lorenzových rovnic má atraktor velmi zvláštní tvar, kdy trajektorie jsou v některých oblastech těsně u sebe ( ovšem nesmí dojít k protnutí ) a jinde se rychle oddalují. To právě vysvětluje již zmíněnou citlivost na počátečních podmínkách. Tzv. Lorenzův atraktor se tedy stal prvním příkladem toho, jak chaotický děj probíhá a dodnes jsou původní rovnice předmětem intenzivního zkoumání již bez ohledu na původní fyzikální význam.

Musíme navíc zdůraznit, že u chaotických systémů předpokládáme, že jsou ponechány bez vnějších zásahů, chaotické chování je jejich vlastnost a jde o chování limitní, ke kterému systém časem sám dospěje.

Pro studium chaosu je pochopení pojmu fázového prostoru a jeho použití zcela zásadní. Jako příklad nepochopení celé problematiky možno uvést následující text [5], [6]: “Omezující podmínkou, aby daný model mohl vykazovat chaos však je, aby byl nejméně třírozměrný, n >3. Jen ve třech dimenzích mohou být trajektorie složitě zapleteny “jako špagety” a mohou “vázat uzly”. V dvojrozměrné rovině to není možné. Ve vlastním dopravním proudu jsou pouze dva rozměry - čas a vzdálenost, ale uvažujeme - li právě vlastnosti řidičů, dostáváme nejméně jednu další proměnnou, která nám dovoluje vyslovit hypotézu o dnes již klasickém chaotickém chování.” ( konec citátu ). Uvedený text je typickou ukázkou situace, kdy autor sice hovoří o chaosu, ale ten jednak nijak nedokazuje a ani mu nejsou zřejmě jasné základní poznatky, z kterých tato teorie vychází. Jak již výše uvedeno, nezáleží totiž vůbec na tom, kolika rozměrný je model, zde např. dopravního proudu ( tj. zda se pohyb děje v rovině či auta létají ), ale jak rozměrný je příslušný fázový prostor. Proto pokud dopravní proud ( za předpokladu spojitého popisu ) popíšeme nelineárními diferenciálními rovnicemi se třemi proměnnými závislými na čase, můžeme se pokusit prokázat chaos některou z dále uvedených metod. Je tedy jasné, že vedle autorem uvedené vzdálenosti musíme mít nějaké další dvě proměnné (ovšem ne čas, o kterém se zmiňuje autor, těžko totiž čas může být závislý na čase). Ovšem dále se asi setkáme s problémem, jak popsat rovnicemi “vlastnosti řidičů” ? Hypotézy samozřejmě můžeme vyslovovat, ale chaos musíme prokázat. Další možnou metodou by bylo v dopravním proudu změřit nějakou časovou dosti dlouhou řadu, zrekonstruovat fázový prostor ( viz dále ) a pokusit se dokázat chaos tímto způsobem.

K prokazování chaosu slouží odhad tzv. charakteristických invariantů atraktoru, kterých je celá řada. Vzhledem k zaměření příspěvku zde neuvádíme konkrétní matematické formule, které je možno najít např v [1], [2], [3], [7] ale pouze podotkneme, že některé invarianty vycházejí z geometrického popisu atraktoru, jiné z pravděpodobnostních vlastností atraktoru. Mezi nejčastěji užívané invarianty patří zřejmě Ljapunovovy exponenty [4] a Kolmogorova entropie ( není zde žádný vztah s Boltzmanovou entropií užívanou ve fyzice ). K potvrzení chaosu ale nemůžeme užít spektrální analýzy, neboť ta není schopna rozlišit deterministický chaos a náhodný děj. Spektrální metody slouží při studiu chaosu jako metody pomocné.

Pokud nejsme schopni systém popsat odpovídajícími rovnicemi, ale máme časovou řadu signálů generovaných systémem (tlak, teplotu, cenu atd.), je v některých případech fázový prostor možno tzv. rekonstruovat. Metoda rekonstrukce fázového prostoru vychází z toho, že měřený jednorozměrný signál v sobě obsahuje informace o původním vícerozměrném signálu. Při nutnosti rekonstrukce fázového prostoru se odhad invariantu skládá ze dvou částí: rekonstrukce fázového prostoru z číselné řady a poté teprve vlastní odhad zvoleného invariantu. Pro rekonstrukci fázového prostoru se užívá mnoho metod, ale nejobvyklejší je tzv. metoda časových zpoždění. Konkrétní postup neuvádíme, opět možno získat z literatury, např. [3]. Zatímco před deseti lety se rekonstruovali chaotické prostory s dimenzí 10 a pro vícerozměrné fázové prostory nebylo možno odlišit náhodný a a chaotický proces [2], dnes díky rozvoji výpočetní techniky je možno rekonstruovat fázový prostor s podstatně vyšší dimenzí. Obecně rekonstrukce fázového prostoru není nijak jednoduchou záležitostí, jde o výpočet značně náročný na strojový čas.

Problémem je, že pro rekonstrukci fázového prostoru potřebujeme tisíce, nejlépe deset tisíc hodnot. Se zvyšující se dimenzí rekonstruovaného fázového prostoru je potřebný počet vyšší. Jde totiž o to, že i při chaotickém chování může systém vykazovat určitou dobu quasiperiodické chování a pokud máme pouze krátkou časovou řadu, můžeme se “trefit” do této quasiperiodické oblasti a dojde k chybě. Navíc u ekonomických dat je problém, jak se bude systém vlastně vyvíjet. Při výskytu chaosu totiž nepředpokládáme žádné vnější zásahy do systému a to lze např. u cen zboží těžko zaručit. Zde mohou působit třeba zavedená celní opatření, opatření pro zvýšení prodeje některého zboží, opatření EU atd. Proto tvrzení o chaotickém chování cen hovězího masa v ČR uvedené v [8] a [6] není vůbec ničím podloženo. Řada je jednak velmi krátká a navíc není užita žádná z metod skutečně chaos prokazující. V tomto případě ani nebyla provedena rekonstrukce fázového prostoru.

Jak již bylo řečeno, teorie chaosu se intenzívně rozvijí zejména od sedmdesátých let. Dnes tato teorie nachází uplatnění nejen ve fyzice ( meteorologii, astronomii aj. ), ale i v lékařských vědách, biologii, sociologii .

V biologii resp. ekologii je často užívaná tzv. logistická rovnice ( někdy také Mayova či Feigenbaumova ). Jde o diskrétní rovnici popisující vývoj počtu příslušníků různých populací.

Yn+1 = a Yn (1- Yn)

Jedná se o normalizovanou verzi, tj. Yn leží v intervalu <0,1>. Velikost populace (např. hmyzu) Yn+1 záleží na minulé populaci Yn a na velikosti parametru a , který shrnuje veškeré podmínky pro vývoj populace. Zatímco spojitá verze této rovnice (tzv. Verhulstova rovnice) [2] vykazuje jednoduché chování, kdy řešení se pro jakoukoliv počáteční podmínku blíží ke stacinárnímu stavu , zde je situace složitější. Chování rovnice závisí na parametru a a pro některé hodnoty a opět dojde k chaotickému chování. Zdálo by se, že tuto rovnici můžeme uplatnit i pro hospodářsky chovaná zvířata (krávy, prasata atd.), jak je uvedeno v [6], ale zatím to není nijak prokázáno a domníváme se, že to není pravda. Logistická rovnice byla odvozena pro ekologické populace a u hospodářsky chovaných zvířat jsme to my, kdo uměle ovlivňuje velikost populace. Logistická rovnice předpokládá uzavřený systém bez zásahů, stejně jako u ostatních systémů vykazujících chaotické chování.

Není pochyb o tom, že v některých oborech poskytla teorie chaosu mnoho nových podnětů či dokonce vysvětlení některých dějů. Použití při hodnocení reálných ekonomických dat je bohužel často sporné ( krátké časové řady, neexistence reálného modelu ), ale samozřejmě i zde jsou intenzivní pokusy teorii chaosu používat. Je ale nutno si uvědomit, že jde o poměrně náročné výpočty, které musí doprovázet důkladné pochopení celé problematiky a část náročných partií matematiky. Proto řada ekonomických pracovišť ve světě řeší tuto problematiku společně s matematiky či fyziky, kteří se také chaosem zabývají. To je asi nejlepší cesta, jak zabránit chybám v užití chaosu a skutečně dosáhnout nějakých prokazatelných výsledků.